4次魔法陣


4次魔法陣とは,4✕4のマス目に,1 ~ 16 の各数字を1個ずつ埋めて, 縦横斜めの4個の数の和がすべて等しくなるように並べたものである。

a b c d
e f g h
i j k l
m n o p


上の方陣の a ~ p の条件
a+b+c+d=34
e+f+g+h=34
i+j+k+l=34
m+n+oi+p=34
a+e+i+m=34
b+f+j+n=34
c+g+k+o=34
d+h+l+p=34
a+f+k+p=34
d+g+j+m=34
を解くと,a,b,d,f,g,l,m を任意定数として,
c,e,h,i,j,k,n,o,p を
c=34-a-b-d
e=34-a-f-g+l-m
h=a-l+m
i=f+g-l
j=34-d-g-m
k=d-f+m
n=-b+d-f+g+m
o=a+b+f-g-m
p=34-a-d-m
と表すことができる。
各項 a ~ p は,1 ~ 16 のいずれかが1個ずつ対応する。 回転や裏返し(対称)な魔法陣を同じモノとみなすので, a < d,a < m,a < p,d < m という条件を付けた。 それをもとに,Excel を利用して,4次魔法陣をすべて列挙してみた。
全部で880通りある。
以下は,そのすべてである。

1 1 14 15 4 2 1 14 15 4 3 1 15 14 4 4 1 15 14 4
  12 7 6 9   8 11 10 5   12 6 7 9   8 10 11 5
  8 11 10 5   12 7 6 9   8 10 11 5   12 6 7 9
  13 2 3 16   13 2 3 16   13 3 2 16   13 3 2 16
5 1 13 16 4 6 1 13 16 4 7 1 16 13 4 8 1 16 13 4
  12 8 5 9   8 12 9 5   11 6 7 10   7 10 11 6
  7 11 10 6   11 7 6 10   8 9 12 5   12 5 8 9
  14 2 3 15   14 2 3 15   14 3 2 15   14 3 2 15
9 1 13 16 4 10 1 13 16 4 11 1 13 16 4 12 1 13 16 4
  12 8 5 9   6 10 7 11   12 10 7 5   8 12 9 5
  6 10 11 7   12 8 9 5   6 8 9 11   10 6 7 11
  15 3 2 14   15 3 2 14   15 3 2 14   15 3 2 14
13 1 16 13 4 14 1 16 13 4 15 1 16 13 4 16 1 16 13 4
  10 7 6 11   6 9 8 11   12 9 8 5   6 11 10 7
  8 9 12 5   12 7 10 5   6 7 10 11   12 5 8 9
  15 2 3 14   15 2 3 14   15 2 3 14   15 2 3 14
17 1 14 15 4 18 1 14 15 4 19 1 14 15 4 20 1 14 15 4
  10 8 5 11   11 8 5 10   7 9 6 12   12 9 6 7
  7 9 12 6   6 9 12 7   10 8 11 5   5 8 11 10
  16 3 2 13   16 3 2 13   16 3 2 13   16 3 2 13
21 1 14 15 4 22 1 14 15 4 23 1 14 15 4 24 1 14 15 4
  5 11 8 10   10 11 8 5   6 12 9 7   7 12 9 6
  12 6 9 7   7 6 9 12   11 5 8 10   10 5 8 11
  16 3 2 13   16 3 2 13   16 3 2 13   16 3 2 13
25 1 15 14 4 26 1 15 14 4 27 1 15 14 4 28 1 15 14 4
  10 8 5 11   11 8 5 10   7 9 6 12   12 9 6 7
  7 9 12 6   6 9 12 7   10 8 11 5   5 8 11 10
  16 2 3 13   16 2 3 13   16 2 3 13   16 2 3 13
29 1 15 14 4 30 1 15 14 4 31 1 15 14 4 32 1 15 14 4
  5 11 8 10   10 11 8 5   6 12 9 7   7 12 9 6
  12 6 9 7   7 6 9 12   11 5 8 10   10 5 8 11
  16 2 3 13   16 2 3 13   16 2 3 13   16 2 3 13
33 1 12 15 6 34 1 12 15 6 35 1 15 12 6 36 1 15 12 6
  14 7 4 9   8 13 10 3   14 4 7 9   8 10 13 3
  8 13 10 3   14 7 4 9   8 10 13 3   14 4 7 9
  11 2 5 16   11 2 5 16   11 5 2 16   11 5 2 16
37 1 11 16 6 38 1 11 16 6 39 1 16 11 6 40 1 16 11 6
  14 8 3 9   8 14 9 3   13 4 7 10   7 10 13 4
  7 13 10 4   13 7 4 10   8 9 14 3   14 3 8 9
  12 2 5 15   12 2 5 15   12 5 2 15   12 5 2 15
41 1 11 16 6 42 1 11 16 6 43 1 16 11 6 44 1 16 11 6
  14 8 3 9   8 14 9 3   10 7 4 13   4 13 10 7
  4 10 13 7   10 4 7 13   8 9 14 3   14 3 8 9
  15 5 2 12   15 5 2 12   15 2 5 12   15 2 5 12
45 1 12 15 6 46 1 12 15 6 47 1 12 15 6 48 1 12 15 6
  10 8 3 13   13 8 3 10   7 9 4 14   14 9 4 7
  7 9 14 4   4 9 14 7   10 8 13 3   3 8 13 10
  16 5 2 11   16 5 2 11   16 5 2 11   16 5 2 11
49 1 12 15 6 50 1 12 15 6 51 1 12 15 6 52 1 12 15 6
  3 13 8 10   10 13 8 3   4 14 9 7   7 14 9 4
  14 4 9 7   7 4 9 14   13 3 8 10   10 3 8 13
  16 5 2 11   16 5 2 11   16 5 2 11   16 5 2 11
53 1 15 12 6 54 1 15 12 6 55 1 15 12 6 56 1 15 12 6
  10 8 3 13   13 8 3 10   7 9 4 14   14 9 4 7
  7 9 14 4   4 9 14 7   10 8 13 3   3 8 13 10
  16 2 5 11   16 2 5 11   16 2 5 11   16 2 5 11
57 1 15 12 6 58 1 15 12 6 59 1 15 12 6 60 1 15 12 6
  3 13 8 10   10 13 8 3   4 14 9 7   7 14 9 4
  14 4 9 7   7 4 9 14   13 3 8 10   10 3 8 13
  16 2 5 11   16 2 5 11   16 2 5 11   16 2 5 11
61 1 12 14 7 62 1 12 14 7 63 1 14 12 7 64 1 14 12 7
  15 6 4 9   8 13 11 2   15 4 6 9   8 11 13 2
  8 13 11 2   15 6 4 9   8 11 13 2   15 4 6 9
  10 3 5 16   10 3 5 16   10 5 3 16   10 5 3 16
65 1 10 16 7 66 1 10 16 7 67 1 16 10 7 68 1 16 10 7
  15 8 2 9   8 15 9 2   13 4 6 11   6 11 13 4
  6 13 11 4   13 6 4 11   8 9 15 2   15 2 8 9
  12 3 5 14   12 3 5 14   12 5 3 14   12 5 3 14
69 1 10 16 7 70 1 10 16 7 71 1 16 10 7 72 1 16 10 7
  15 8 2 9   8 15 9 2   11 6 4 13   4 13 11 6
  4 11 13 6   11 4 6 13   8 9 15 2   15 2 8 9
  14 5 3 12   14 5 3 12   14 3 5 12   14 3 5 12
73 1 12 14 7 74 1 12 14 7 75 1 12 14 7 76 1 12 14 7
  11 8 2 13   13 8 2 11   4 15 9 6   6 15 9 4
  6 9 15 4   4 9 15 6   13 2 8 11   11 2 8 13
  16 5 3 10   16 5 3 10   16 5 3 10   16 5 3 10
77 1 14 12 7 78 1 14 12 7 79 1 14 12 7 80 1 14 12 7
  11 8 2 13   13 8 2 11   4 15 9 6   6 15 9 4
  6 9 15 4   4 9 15 6   13 2 8 11   11 2 8 13
  16 3 5 10   16 3 5 10   16 3 5 10   16 3 5 10
81 1 11 14 8 82 1 11 14 8 83 1 11 14 8 84 1 12 13 8
  16 5 4 9   16 6 3 9   7 13 12 2   7 14 11 2
  7 12 13 2   7 13 12 2   16 4 5 9   16 5 4 9
  10 6 3 15   10 4 5 15   10 6 3 15   10 3 6 15
85 1 13 12 8 86 1 14 11 8 87 1 14 11 8 88 1 14 11 8
  16 4 5 9   16 5 4 9   7 12 13 2   7 13 12 2
  7 11 14 2   7 12 13 2   16 3 6 9   16 4 5 9
  10 6 3 15   10 3 6 15   10 5 4 15   10 3 6 15
89 1 10 15 8 90 1 12 13 8 91 1 13 12 8 92 1 15 10 8
  16 7 2 9   6 15 10 3   16 4 5 9   6 12 13 3
  6 13 12 3   16 5 4 9   6 10 15 3   16 2 7 9
  11 4 5 14   11 2 7 14   11 7 2 14   11 5 4 14
93 1 9 16 8 94 1 10 15 8 95 1 10 15 8 96 1 10 15 8
  7 15 10 2   16 6 3 9   5 14 11 4   7 16 9 2
  14 4 5 11   5 11 14 4   16 3 6 9   14 5 4 11
  12 6 3 13   12 7 2 13   12 7 2 13   12 3 6 13
97 1 11 14 8 98 1 14 11 8 99 1 15 10 8 100 1 15 10 8
  6 16 9 3   15 4 5 10   14 4 5 11   16 6 3 9
  15 5 4 10   6 9 16 3   7 9 16 2   5 11 14 4
  12 2 7 13   12 7 2 13   12 6 3 13   12 2 7 13
101 1 15 10 8 102 1 16 9 8 103 1 10 15 8 104 1 11 14 8
  5 14 11 4   14 5 4 11   16 7 2 9   16 6 3 9
  16 3 6 9   7 10 15 2   4 11 14 5   4 10 15 5
  12 2 7 13   12 3 6 13   13 6 3 12   13 7 2 12
105 1 14 11 8 106 1 15 10 8 107 1 9 16 8 108 1 9 16 8
  4 15 10 5   4 14 11 5   4 12 5 13   15 12 5 2
  16 3 6 9   16 2 7 9   15 7 10 2   4 7 10 13
  13 2 7 12   13 3 6 12   14 6 3 11   14 6 3 11
109 1 10 15 8 110 1 12 13 8 111 1 12 13 8 112 1 12 13 8
  7 16 9 2   15 6 3 10   16 7 2 9   3 15 10 6
  12 3 6 13   4 9 16 5   3 10 15 6   16 2 7 9
  14 5 4 11   14 7 2 11   14 5 4 11   14 5 4 11
113 1 13 12 8 114 1 13 12 8 115 1 13 12 8 116 1 15 10 8
  16 7 2 9   3 15 10 6   4 16 9 5   12 6 3 13
  3 10 15 6   16 2 7 9   15 3 6 10   7 9 16 2
  14 4 5 11   14 4 5 11   14 2 7 11   14 4 5 11
117 1 16 9 8 118 1 16 9 8 119 1 9 16 8 120 1 9 16 8
  4 10 7 13   15 10 7 2   4 12 5 13   14 12 5 3
  15 5 12 2   4 5 12 13   14 6 11 3   4 6 11 13
  14 3 6 11   14 3 6 11   15 7 2 10   15 7 2 10
121 1 11 14 8 122 1 12 13 8 123 1 12 13 8 124 1 13 12 8
  6 16 9 3   14 7 2 11   16 9 4 5   2 14 7 11
  12 2 7 13   4 9 16 5   2 7 14 11   16 4 9 5
  15 5 4 10   15 6 3 10   15 6 3 10   15 3 6 10
125 1 13 12 8 126 1 14 11 8 127 1 16 9 8 128 1 16 9 8
  4 16 9 5   12 7 2 13   4 11 6 13   14 11 6 3
  14 2 7 11   6 9 16 3   14 5 12 3   4 5 12 13
  15 3 6 10   15 4 5 10   15 2 7 10   15 2 7 10
129 1 10 15 8 130 1 10 15 8 131 1 10 15 8 132 1 10 15 8
  5 11 4 14   14 11 4 5   3 13 6 12   12 13 6 3
  12 6 13 3   3 6 13 12   14 4 11 5   5 4 11 14
  16 7 2 9   16 7 2 9   16 7 2 9   16 7 2 9
133 1 12 13 8 134 1 12 13 8 135 1 12 13 8 136 1 12 13 8
  6 10 3 15   15 10 3 6   2 14 7 11   11 14 7 2
  11 7 14 2   2 7 14 11   15 3 10 6   6 3 10 15
  16 5 4 9   16 5 4 9   16 5 4 9   16 5 4 9
137 1 13 12 8 138 1 13 12 8 139 1 13 12 8 140 1 13 12 8
  6 10 3 15   15 10 3 6   2 14 7 11   11 14 7 2
  11 7 14 2   2 7 14 11   15 3 10 6   6 3 10 15
  16 4 5 9   16 4 5 9   16 4 5 9   16 4 5 9
141 1 15 10 8 142 1 15 10 8 143 1 15 10 8 144 1 15 10 8
  5 11 4 14   14 11 4 5   3 13 6 12   12 13 6 3
  12 6 13 3   3 6 13 12   14 4 11 5   5 4 11 14
  16 2 7 9   16 2 7 9   16 2 7 9   16 2 7 9
145 1 7 16 10 146 1 7 16 10 147 1 16 7 10 148 1 16 7 10
  14 12 3 5   12 14 5 3   6 11 4 13   4 13 6 11
  4 6 13 11   6 4 11 13   12 5 14 3   14 3 12 5
  15 9 2 8   15 9 2 8   15 2 9 8   15 2 9 8
149 1 8 15 10 150 1 8 15 10 151 1 8 15 10 152 1 8 15 10
  6 12 3 13   13 12 3 6   4 14 5 11   11 14 5 4
  11 5 14 4   4 5 14 11   13 3 12 6   6 3 12 13
  16 9 2 7   16 9 2 7   16 9 2 7   16 9 2 7
153 1 15 8 10 154 1 15 8 10 155 1 15 8 10 156 1 15 8 10
  6 12 3 13   13 12 3 6   4 14 5 11   11 14 5 4
  11 5 14 4   4 5 14 11   13 3 12 6   6 3 12 13
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